高中數(shù)學(xué)等差數(shù)列公式大全(高中數(shù)學(xué)等差數(shù)列求和的方法)

向尖子生進(jìn)軍特別整理了2022年高考第二輪復(fù)習(xí)的高中數(shù)學(xué)算術(shù)數(shù)列求和公式+方法，希望能為廣大考生和家長提供幫助。

等差數(shù)列是一種常見的數(shù)列，可以表示為AP。如果一個(gè)序列中的每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的差值等于與第二項(xiàng)相同的常數(shù)，則這個(gè)序列稱為等差數(shù)列，而這個(gè)常數(shù)稱為等差數(shù)列的容差，容差常常為用字母d表示。

(一）等差數(shù)列求和公式

1.公式法

2.錯(cuò)位相減法

3.求和公式

4.分組法

有一種序列既不是算術(shù)序列也不是幾何序列。這類數(shù)列如果拆解得當(dāng)，可以分成幾個(gè)算術(shù)數(shù)列、幾何數(shù)列或普通數(shù)列，然后分別求和，再合并。能。

5.裂項(xiàng)相消法

適合分?jǐn)?shù)形式的通項(xiàng)公式，將一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)差的形式，即an=f(n+1)-f(n)，然后累加時(shí)抵消掉中間的多項(xiàng)。

總結(jié)：這種變形的特點(diǎn)是，將原始序列的每一項(xiàng)拆分為兩項(xiàng)后，中間的大部分項(xiàng)相互抵消。只剩下有限的數(shù)量。

注：其余項(xiàng)目具有以下特征

1.其余項(xiàng)目的位置對(duì)稱。

2、其余項(xiàng)目前后積極性相反。

6.數(shù)學(xué)歸納法

一般來說，要證明一個(gè)與正整數(shù)n相關(guān)的命題，有以下步驟：

(1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)命題成立；

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（kn的第一個(gè)值，k是自然數(shù)）時(shí)命題為真，并證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也為真。

例子：

確認(rèn)：

1234+2345+3456+.+n(n+1)(n+2)(n+3)=[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5

證明：

當(dāng)n=1時(shí)，有：

1234=24=2345/5

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，則：

12x34+2345+3456+.+k(k+1)(k+2)(k+3)=[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5

那么當(dāng)n=k+1時(shí)我們有：

1234+2345+3456+……+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

=1234+234*5+3456+……+k(k+1)(k+2)(k+3)+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

=[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

=(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5+1)

=[(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5

即當(dāng)n=k+1時(shí)原方程仍然成立，并用歸納法證明。

7.并項(xiàng)求和法

（常采用先測試后求和的方法）

例：1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n

方法一：（聯(lián)合條款）

求奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)之和并減去它們。

方法二：

(1-2)+(3-4)+(5-6)+……+[(2n-1)-2n]

方法三：

要構(gòu)造新的數(shù)列，可以使用等差數(shù)列和等比數(shù)列的復(fù)合。

an=n(-1)^（n+1）

（二）等差數(shù)列判定及其性質(zhì)

等差數(shù)列的判定

(1)a(n+1)--a(n)=d(d為常數(shù)，nN*)[或a(n)--a(n-1)=d,nN*,n2，d為常數(shù)]等價(jià)于{a(n)}轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列。

(2)2a(n+1)=a(n)+a(n+2)[nN*]等價(jià)于等差數(shù)列中的{a(n)}。

(3)a(n)=kn+b[k,b為常數(shù)，nN*]等價(jià)于{a(n)}構(gòu)成等差數(shù)列。

(4)S(n)=A(n)^2+B(n)[A和B為常數(shù)，A不為0，nN*]等價(jià)于{a(n)}為算術(shù)數(shù)列。

特殊性質(zhì)

在有限算術(shù)數(shù)列中，與第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和相等。并且它等于前兩項(xiàng)和后兩項(xiàng)之和；特別是，如果項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則也等于中間項(xiàng)的2倍，

即a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=2*a

示例：a(1)+a(6)=12，序列為：1,3,5,7,9,11；a(2)+a(5)=12；a(3)+a(4)=12；也就是說，在有限算術(shù)數(shù)列中，與前兩項(xiàng)和后兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和相等。并且等于前兩項(xiàng)和后兩項(xiàng)之和。

數(shù)列：1、3、5、7、9中a(1)+a(5)=10；a(2)+a(4)=10；a(3)=5=[a(1)+a(5)]/2=[a(2)+a(4)]/2=10/2=5；也就是說，如果項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則總和等于中項(xiàng)的2倍，另請(qǐng)參見算術(shù)中項(xiàng)。

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