正方體11種展開(kāi)圖形(正方體十一種展開(kāi)圖口訣)

引

問(wèn)：正方體的平面展開(kāi)圖有多少個(gè)？

答：11種。

關(guān)于立方體展開(kāi)圖，相信大家在小學(xué)的時(shí)候就接觸過(guò)相關(guān)問(wèn)題。結(jié)論“11”經(jīng)常被老師忽略。看來(lái)這只是親手驗(yàn)證的結(jié)果，不值得深思。

但如果我們真想深入挖掘的話，為什么只有這11個(gè)呢？難道真的沒(méi)有12次展開(kāi)圖嗎？為什么只有五個(gè)凸金色多面體？除了用計(jì)算機(jī)窮舉的方法之外，還有什么嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明嗎？

鋪墊

我們?cè)谥暗奈恼隆秶逯械臄?shù)學(xué)原理（一）》中已經(jīng)接觸過(guò)圖論的基本概念。接下來(lái)，我們將介紹一些更方便的代數(shù)工具來(lái)描述圖（本文中我們只關(guān)注簡(jiǎn)單的無(wú)向圖）。

任何圖都有以下代數(shù)表示，我們稱之為鄰接矩陣：首先給圖rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='G(V,E)'role='presentation'G(V,E)G(V,E)的頂點(diǎn)標(biāo)簽，一個(gè)矩陣ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='A=(aij)'角色='演示'A=(aij)A=(a_{ij})'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='i'角色='演示'ii行內(nèi)存'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='j'role='presentation'jj列元素rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='aij'role='presentation'aija_{ij}代表rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：顏色：綠色；'data-mathml='i'role='presentation'ii頂點(diǎn)和RAM'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='j'role='presentation'jj頂點(diǎn)是否有邊RAM'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='eij#x2208;E'role='presentation'eijEe_{ij}\inE是連通的，如果存在則rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='aij=1'role='presentation'aij=1a_{ij}=1,否則rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='aij=0。'角色='演示'aij=0.a_{ij}=0.標(biāo)注方式不同，鄰接矩陣也不同，但都是等價(jià)的（只要Swaprowsrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:綠色；'data-mathml='i'角色='演示'ii和rame'tabindex幾次='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；position:相對(duì)；color:綠色；'data-mathml='j'角色='演示'jj行和rame'tabindex='0'樣式='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；position:相對(duì)；color:綠色；'data-mathml='i'角色='presentation'ii列和內(nèi)存'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；position:相對(duì)；color:綠色；'data-mathml='j'角色='presentation'jj列，兩個(gè)相鄰的相鄰鄰接矩陣彼此等價(jià)，會(huì)互相轉(zhuǎn)換，想想為什么）。

例如長(zhǎng)度為2rame的道路'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)數(shù)學(xué)='#x2219;#x2212;#x2219;#x2212;#x2219;'role='presentation'\bullet-\bullet-\bullet，我們不妨將每個(gè)頂點(diǎn)從左到右標(biāo)記為1、2、3，所以它的鄰接矩陣為

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='A=(010101010).'角色='演示'A=(010101010).A=\left(\begin{array}{ccc}010\\101\\010\end{array}\right).\\

如果我們?cè)卩徑泳仃嚨幕A(chǔ)上做一點(diǎn)處理，我們會(huì)得到：

rame'tabindex='0'data-mathml='#x0394;=diag(deg#x2061;vi)#x2212;A'角色='演示'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；':=diag(degvi)A\Delta:=\text{diag}(\degv_i)-A\\

我們稱之為GG的拉普拉斯矩陣。上例中每個(gè)點(diǎn)的度數(shù)為：

rame'tabindex='0'data-mathml='deg#x2061;v1=1,deg#x2061;v2=2,deg#x2061;v3=1。'角色='演示文稿'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'degv1=1,degv2=2,degv3=1.\degv_1=1,\quad\degv_2=2,\quad\degv_3=1.\\

所以rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)數(shù)學(xué)='#x2219;#x2212;#x2219;#x2212;#x2219;'role='presentation'\bullet-\bullet-\bullet的拉普拉斯矩陣為：

rame'tabindex='0'data-mathml='#x0394;=(121)#x2212;(010101010)=(1#x2212;10#x2212;12#x2212;10#x2212;11)。'角色='演示文稿'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'=(121)(010101010)=(110121011).\Delta=\left(\begin{array}{ccc}1\\2\\1\end{數(shù)組}\right)-\left(\begin{array}{ccc}010\\101\\010\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrrr}1-10\\-12-1\\0-11\end{array}\right).\\

證明概要

每個(gè)立方體的展開(kāi)都是通過(guò)沿著立方體的7個(gè)邊切割而獲得的。所以問(wèn)題的關(guān)鍵是討論切割圖（切割頂點(diǎn)和邊形成的圖）的類型數(shù)量。

由于平面展開(kāi)圖的邊界是相連的，因此剖切圖也是相連的；另外，切割時(shí)不能有環(huán)，否則展開(kāi)圖的一部分會(huì)與主體斷開(kāi)。我們所說(shuō)的展開(kāi)圖必須是連通的。連通且無(wú)環(huán)的圖稱為樹(shù)。而且，展開(kāi)圖的邊界穿過(guò)立方體的所有頂點(diǎn)，因此割圖也穿過(guò)立方體的所有頂點(diǎn)。圖片框'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='G'role='演示'GG圖的子圖'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='T'role='presentation'TT是一棵樹(shù)，iframe'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='T'role='presentation'TTthroughrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='G'role='presentation'GG的所有頂點(diǎn)，我們稱之為rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='T'role='presentation'TTisrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='G'role='presentation'GG的生成樹(shù)，或支持樹(shù)。

所以切割圖一定是立方體rame的生成樹(shù)'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='#x03A3;'角色='演示文稿'\Sigma。

圖片來(lái)自byohovel的回答-知乎https://www.zhihu.com/question/310424939/answer/583733121我們先回答一個(gè)基本且關(guān)鍵的問(wèn)題：砍樹(shù)有多少棵？

我們介紹——無(wú)證明

基爾霍夫矩陣樹(shù)定理圖rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='G'role='presentation'GG的生成樹(shù)集合rame中元素的數(shù)量'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='#x03A3;'role='presentation'\Sigma等于

rame'tabindex='0'data-mathml='|#x03A3;|=|det#x0394;#x2212;|.'角色='演示'樣式='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'||=|det|.|\Sigma|=|\det\Delta^-|.\\其中rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='#x0394;#x2212;'role='presentation'\Delta^-meansram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)數(shù)學(xué)='#x0394;'角色='演示'\Deltaanyram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='(n#x2212;1)#x00D7;(n#x2212;1)'角色='演示'(n1)(n1)(n-1)\times(n-1))main子表單，即去掉rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='i'角色='演示'ii行內(nèi)存'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='i'role='presentation'iicolumn剩余的子公式。

寫出如上所示的立方體的鄰接矩陣

rame'tabindex='0'data-mathml='A=[0101100010100100010100101010000110000101010010100010010100011010]。'角色='演示'樣式='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；位置33360相對(duì)；color:綠色；'A=[0101100010100100010100101010000110000101010010100010010100011010].A=\left[\begin{array}{rrrr}01011000\\10100100\\01010010\\10100001\\10000101\\01001010\\00100101\\00011010\\\end{數(shù)組}\右]。\\

由于立方體的每個(gè)頂點(diǎn)都連接到三個(gè)邊，因此其拉普拉斯矩陣

rametabindex='0'data-mathml='#x0394;=[3#x2212;10#x2212;1#x2212;1000#x2212;13#x2212;100#x2212;1000#x2212;13#x2212;100#x2212；10#x2212；10#;1000#x2212;1#x2212;10#x2212;13]。'角色='演示'樣式='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：顏色：綠色；'=[3101100013100100013100101013000110003101010013100010013100011013].\Delta=\left[\begin{array}{rrrr}3-10-1-1000\\-13-100-100\\0-13-100-10\\-10-13000-1\\-10003-10-1\\0-100-13-10\\00-100-13-1\\000-1-10-13\\\end{array}\right]。\\

所以去掉最后一行和最后一列后，我們計(jì)算它的行列式

rame'tabindex='0'data-mathml='det#x0394;#x2212;=384。'角色='演示'樣式='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'det=384。\det\Delta^-=384。\\

#R語(yǔ)言A1-c(0,1,0,1,1,0,0,0)A2-c(1,0,1,0,0,1,0,0)A3-c(0,1,0,1,0,0,1,0)A4-c(1,0,1,0,0,0,0,1)A5-c(1,0,0,0,0,1,0,1)A6-c(0,1,0,0,1,0,1,0)A7-c(0,0,1,0,0,1,0,1)A8-c(0,0,0,1,1,0,1,0)A-c(A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8)A-matrix(A,8,8,TRUE)#鄰接矩陣AA[,1][,2][,3][,4][,5][,6][,7][,8][1,]01011000[2,]10100100[3，]01010010[4，]1

0100001[5,]10000101[6,]01001010[7,]00100101[8,]00011010Lap<- diag(rep(3,8))-A #Laplace矩陣 det(Lap[-8,][,-8]) #去掉第8行第8列，并求其行列式 >[1]384!!結(jié)論1正方體的支撐樹(shù)共有384個(gè)。也就是說(shuō)，我們所要尋找的正方體展開(kāi)圖的個(gè)數(shù)的上限是384，而這384種情況中，有大量在對(duì)稱意義下的等價(jià)的情況，我們需要計(jì)算究竟有多少個(gè)等價(jià)類，這是我們所追求的答案。

首先要明白我們是在什么對(duì)稱意義下討論——考慮正方體的等距對(duì)稱群。從幾何的角度而言，正方體有以下對(duì)稱方式：

旋轉(zhuǎn)類從左到右依次記為Rot1，Rot2，Rot3.反射類從左到右依次記為Ref1，Ref2.這些對(duì)稱變換可以相互疊加使用，就像是整數(shù)的加法一樣，它們都是數(shù)學(xué)上的群。立方體等距對(duì)稱群rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="G=Isom(C)"role="presentation">G=Isom(C)G=\text{Isom}(\mathcal{C})的代數(shù)表示為

rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="Isom(C)=S4×Z2."role="presentation">Isom(C)=S4×Z2.\text{Isom}(\mathcal{C})=S_4\times\mathbb{Z}_2.\\

如果兩棵生成樹(shù)通過(guò)以上對(duì)稱方式可以重合，我們就認(rèn)為兩者等價(jià)，或者換一種說(shuō)法，兩者處于群變換的同一軌道。我們?cè)O(shè)想任意一棵生成樹(shù)，在以上全體變換下，演化出種種與之對(duì)稱的情況，形成一個(gè)「軌道」，而不等價(jià)的樹(shù)彼此形成的軌道彼此分離，否則兩者處于同一軌道。于是我們的問(wèn)題的答案正是軌道數(shù)。

而計(jì)算軌道數(shù)也有現(xiàn)成的公式，我們同樣不加證明引入——

Burnside引理群rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="G"role="presentation">GG作用在集合rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="X"role="presentation">XX上，所形成的軌道數(shù)為：

rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="Orb(X)=1|G|∑g∈G|Fix(g)|."role="presentation">Orb(X)=1|G|∑g∈G|Fix(g)|.\text{Orb}(X)=\frac{1}{|G|}\sum_{g\inG}|\text{Fix}(g)|.\\其中

rame"tabindex="0"data-mathml="Fix(g):={x∈X?|?xg=x}?X"role="presentation"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;">Fix(g):={x∈X|xg=x}?X\text{Fix}(g):=\{x\inX\|\x^g=x\}\subseteqX\\即在變換rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="g"role="presentation">gg作用下保持不變的元素的集合。

Burnside引理是計(jì)數(shù)原理的基石。

如今我們讓正方體的等距變換群rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="G=Isom(C)"role="presentation">G=Isom(C)G=\text{Isom}(\mathcal{C})作用于正方體的生成樹(shù)集合rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="X=Σ"role="presentation">X=ΣX=\Sigma，由抽象代數(shù)的知識(shí)可知rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="|G|=|S4×Z2|=48"role="presentation">|G|=|S4×Z2|=48|G|=|S_4\times\mathbb{Z}_2|=48，所以最終的問(wèn)題全部聚焦于如何計(jì)算rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="|Fix(g)|"role="presentation">|Fix(g)||\text{Fix}(g)|——在rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="g"role="presentation">gg作用下不變的樹(shù)的個(gè)數(shù)，這是問(wèn)題的難點(diǎn)。

所幸對(duì)于正方體的等距變換群rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="Isom(C)"role="presentation">Isom(C)\text{Isom}(\mathcal{C})而言，大多數(shù)rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="|Fix(g)|=0"role="presentation">|Fix(g)|=0|\text{Fix}(g)|=0，當(dāng)然經(jīng)過(guò)了數(shù)學(xué)家RichardGoldstone和RobertSuzziValli(2016)[1]一系列嚴(yán)格的證明，證明過(guò)程我們略去，直接說(shuō)結(jié)論：

!!結(jié)論2擁有不變樹(shù)的變換只有兩種：1.關(guān)于對(duì)棱中點(diǎn)連線旋轉(zhuǎn)180度（Rot2）；2.關(guān)于過(guò)四條平行棱中點(diǎn)的平面的反射（Ref2）.

另外還有一個(gè)關(guān)鍵性的結(jié)論——

!!結(jié)論3不考慮恒等變換，上面兩種變換Rot2、Ref2的不變樹(shù)中都有且僅有一條不動(dòng)邊，并且將這個(gè)邊反轉(zhuǎn)，即設(shè)rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="e=vivj"role="presentation">e=vivje=v_iv_j，rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="g∈Rot2,Ref2"role="presentation">g∈Rot2,Ref2g\in\text{Rot2,Ref2}，則

rame"tabindex="0"data-mathml="eg=e=vjvi."role="presentation"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;">eg=e=vjvi.e^g=e=v_jv_i.\\注意變換Rot2和Ref2本身的不動(dòng)邊不僅僅只有一條（分別是2條、4條）。

于是我們采用逐漸生長(zhǎng)的策略：選取一個(gè)不動(dòng)邊，對(duì)于rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="ρ0∈"role="presentation">ρ0∈\rho_0\inRot2而言有2種選擇方式（rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="×2"role="presentation">×2\times2），對(duì)于rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="φ0∈"role="presentation">φ0∈\varphi_0\inRef2而言有4種選擇（rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="×4"role="presentation">×4\times4）；然后依照這兩種變換，逐漸選取新的邊、以及經(jīng)過(guò)變換后的邊，直到形成一棵生成樹(shù)為止。

空心圓圈表示生長(zhǎng)「發(fā)芽」之處于是可得

rame"tabindex="0"data-mathml="|Fix(φ0)|=4×4=16,|Fix(ρ0)|=8×2=16."role="presentation"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;">|Fix(φ0)|=4×4=16,|Fix(ρ0)|=8×2=16.\begin{array}{lll}|\text{Fix}(\varphi_0)|=4\times4=16,\\\\|\text{Fix}(\rho_0)|=8\times2=16.\\\end{array}\\

由于對(duì)稱性，像rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="ρ0"role="presentation">ρ0\rho_0變換群Rot2有rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="12/2=6"role="presentation">12/2=612/2=6個(gè)變換；rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="φ0"role="presentation">φ0\varphi_0變換群Ref2有rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="12/4=3"role="presentation">12/4=312/4=3個(gè)變換。最后我們帶入Burnside引理的計(jì)算公式：

rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="Orb(X)=1|G|∑g∈G|Fix(g)|=1|G|(|Fix(id)|+|Fix(Rot2)|+|Fix(Ref2)|)=148(384+6×16+3×16)=11."role="presentation">Orb(X)=1|G|∑g∈G|Fix(g)|=1|G|(|Fix(id)|+|Fix(Rot2)|+|Fix(Ref2)|)=148(384+6×16+3×16)=11.\begin{array}{llll}\text{Orb}(X)&\\=\cfrac{1}{|G|}\sum_{g\inG}|\text{Fix}(g)|\\=\cfrac{1}{|G|}(|\text{Fix}(id)|+|\text{Fix}(\text{Rot2})|+|\text{Fix}(\text{Ref2})|)\\=\cfrac{1}{48}(384+6\times16+3\times16)\\=11.\end{array}\\

參考文獻(xiàn)

[1]RichardGoldstoneandRobertSuzziValli(2016),unfoldingsofthecube,arXiv:1604.05004[math.GR].

[2]S.Axler,F.W.GehringandK.A.Ribert,AlgebraicGraphTheory.

為什么正方體有十一種展開(kāi)圖？我老早以前寫的回答，當(dāng)時(shí)我還很稚嫩。方法很初等，也很簡(jiǎn)潔，只是我一直覺(jué)得可能不太嚴(yán)謹(jǐn)。